Schrödinger denklemi

Bilgibank, Hoşgeldiniz
Gezinti kısmına atla Arama kısmına atla
Varşova Üniversitesi'nin Yeni Teknolojiler Merkezi önünde bir anıtın parçası olarak Schrödinger denklemi

Kuantum mekaniğinde Schrödinger denklemi, dalga-parçacık ikiliği gibi kuantum etkilerinin önemli olduğu fiziksel bir sistemin zaman içindeki değişimlerini tanımlayan matematiksel bir denklemdir. Bu sistemler kuantum (mekanik) sistemler olarak adlandırılmaktadır.

Denklem kuantum sistemleri çalışmasında merkezi bir sonuç olarak kabul edilir ve onun kuantum mekaniği teorisinin gelişiminde önemli bir dönüm noktası olmuştur. 1925'te denklemi türeten ve 1926'da yayınladığı Erwin Schrödinger'in isminden sonra, 1933'te Nobel Fizik Ödülü'ne layık görülmesine neden olan eserinin temelini oluşturdu.

Klasik mekaniğinde, Newton'un ikinci yasası (F = ma), belirli bir fiziksel sistemin, bilinen bir dizi başlangıç koşulunu takiben zamanla nasıl bir yol alacağı konusunda bir matematiksel tahmin yapmak için kullanılır. Bu denklemi çözmek, sistemdeki harici kuvvet F'nin bir fonksiyonu olarak fiziksel sistemin konumunu ve momentumunu verir. Bu iki parametre, durumunu her an anında tanımlamak için yeterlidir. Kuantum mekaniğinde Newton yasasının analogu Schrödinger'in kuantum sistemi için denklemidir (genelde serbest, bağlı veya lokalize edilmiş atomlar, moleküller ve atom altı parçacıklar). Denklem matematiksel olarak sistemin dalga fonksiyonunun zaman-evrimini tanımlayan lineer kısmi diferansiyel denklem olarak tanımlanır ("durum fonksiyonu" olarak da bilinir).

Bir dalga fonksiyonu kavramı, kuantum mekaniğinin, her bir mekansal pozisyonda ve sistemdeki durumunu belirleyen temel bir varsayımdır. Bu varsayımdır kullanılarak, Schrödinger denklemi, uzay zamanı uygulayan birimsel olması gerektiğinden türetilebilir ve bu nedenle kuantum Hamiltoniyen olan kendinden eşlenik bir operatörün üsteli, oluşturulmalıdır. Bu türetme aşağıda açıklanmıştır.

Kuantum mekaniğinin Kopenhag yorumunda dalga fonksiyonu, fiziksel bir sisteme verilebilecek en eksiksiz tanımdır. Schrödinger denklemine çözümler sadece moleküler, atomik ve atom altı sistemleri değil, aynı zamanda makroskopik sistemleri, hatta belki de tüm evreni tanımlar. Schrödinger denklemi, kuantum mekaniği ile özel göreliliği birleştiren kuantum alan teorisi de dahil olmak üzere tüm kuantum mekaniği uygulamalarının merkezinde yer alır. Sicim teorisi gibi kuantum yerçekimi teorileri de Schrödinger denklemini değiştirmez.

Schrödinger denklemi, kuantum mekanik sistemleri incelemek ve tahminleri yapmak için tek yol değildir, çünkü Werner Heisenberg tarafından tanıtılan matris mekaniği gibi diğer kuantum mekanik formülasyonlar ve Richard Feynman tarafından geliştirilen yol integrali formülasyonu vardır. Paul Dirac, matris mekaniğini ve Schrödinger denklemini tek bir formülasyona dahil etti.

Denklem

Zamana bağlı denklem

Schrödinger denkleminin formu fiziksel duruma bağlıdır (özel durumlar için aşağıya bakınız). En genel biçim, zamanla gelişen bir sistemin açıklamasını veren zamana bağlı Schrödinger denklemidir (TDSE):

Orantısız Schrödinger denklemini V = 0 ile karşılayan bir dalga fonksiyonu. Başka bir deyişle, bu, boş uzayda serbestçe hareket eden bir parçacığa karşılık gelir. Dalga fonksiyonunun gerçek kısmı burada çizilmiştir.
Zamana bağlı Schrödinger denklemi (genel)

Burda imgesel i birim, ħ Planck sabiti :, sembol /t Zamana göre kısmi türev gösterir t, Ψ kuantum sisteminin dalga fonksiyonu olup, r ve t sırasıyla konum vektörü ve zamanıdır veĤ , Hamiltonian operatördür (bu, değerlendirilen sistemin toplam enerjisini karakterize eder).

Bu üç sıranın her biri, harmonik bir osilatör için zamana bağlı Schrödinger denklemini karşılayan bir dalga fonksiyonudur. Sol: Dalga fonksiyonunun gerçek kısmı (mavi) ve hayali kısmı (kırmızı). Sağ: Parçacığı bu dalga fonksiyonuyla belirli bir konumda bulma olasılık dağılımı. En üstteki iki sıra, duran dalgalara karşılık gelen durağan durumların örnekleridir. Alt sıra, durağan olmayan bir durumun bir örneğidir. Sağdaki sütun, durağan durumların neden "durağan" olarak adlandırıldığını gösterir.

En ünlü örnek, ikinci bir, genelde daha ağır, parçacık (ama manyetik alan değil; Pauli denklemine bakınız) elektrik alanında hareket eden tek bir parçacığın göreceli koordinatı için rölatif r olmayan Schrödinger denklemidir:

Zamana bağlı Schrödinger denklemi pozisyon bazında
(göreceli olmayan tek parçacık)

burada parçacığın "indirgenmiş kütlesi", μ V potansiyel enerjisidir, Ψ Laplasiyen (bir diferansiyel operatör) ve dalga işlevidir (daha kesin olarak, bu bağlamda, "konum-uzay dalgası fonksiyon" denir).

Sade bir dilde, "toplam enerji, kinetik enerjinin artı potansiyel enerjiye eşittir" anlamına gelir, ancak terimler aşağıda açıklanan nedenlerle alışılmamış formlar alır.

İlgili özel diferansiyel operatörler dikkate alındığında, bu doğrusal bir kısmi diferansiyel denklemdir. Aynı zamanda bir difüzyon denklemidir, fakat bu ısı denkleminin aksine, bu aynı zamanda geçici süre içinde mevcut olan hayali birime verilen bir dalga denklemidir.

"Schrödinger denklemi" terimi, genel denklemi veya spesifik göreceli olmayan versiyonu ifade edebilir. Genel denklem oldukça geneldir, kuantum mekaniği boyunca, Dirac denkleminden kuantum alan teorisine kadar her şey için, Hamiltoniyen için farklı ifadeler takarak kullanılır. Spesifik göreceli olmayan versiyon, gerçekliğe tamamen klasik bir yaklaşımdır ve birçok durumda kesin sonuçlar verir, fakat sadece belli bir dereceye kadar (göreceli kuantum mekaniği ve göreceli kuantum alan teorisine bakınız).

Schrödinger denklemini uygulamak için, sistem için oluşturulan ve daha sonra Schrödinger denklemine yerleştirilen parçacıkların kinetik ve potansiyel enerjisini hesaba katan, sistem için Hamilton operatörü kurulur. Elde edilen kısmi diferansiyel denklem, sistem hakkında bilgi içeren dalga fonksiyonu için çözülür.

Zamandan bağımsız denklem

Yukarıda tarif edilen zamana bağlı Schrödinger denklemi, dalga fonksiyonlarının durağan haller (durağan halleri olarak da adlandırılır) (atom orbitalleri veya moleküler orbitallerde olduğu gibi "orbitaller" olarak da anılır) oluşturabileceğini öngörür.Bu durumlar, bireysel çalışmalarından sonra, herhangi bir durum için zamana bağlı Schrödinger denklemini çözme görevini basitleştirdiği için özellikle önemlidir. Sabit durumlar ayrıca Schrödinger denkleminin, zamandan bağımsız Schrödinger denkleminin (TISE) daha basit bir biçimi ile tarif edilebilir.


Zamandan bağımsız Schrödinger denklemi (genel)

Burada E, sistemin toplam enerjisine eşit bir sabittir. Bu sadece Hamiltonianın kendisi zamana bağımlı olmadığı zaman kullanılır. Bununla birlikte, bu durumda bile, toplam dalga fonksiyonunun hala bir zaman bağımlılığı vardır.

Kelimede, denklem şunları ifade eder:

Hamilton operatörü belirli bir dalga fonksiyonu üzerinde çalışırken Ψ, ve sonuç aynı dalga fonksiyonuyla orantılıdır Ψ, o zaman Ψ sabit bir durumdur ve orantı sabiti,E, Ψ'nin enerjisidir.

Lineer cebir terminolojisinde, bu denklem bir özdeğer denklemidir ve bu anlamda dalga fonksiyonu Hamilton operatörünün bir özfonksiyonudur. Daha önce olduğu gibi, en yaygın tezahür, elektrik alanında hareket eden tek bir parçacık için (manyetik alan değil) orantısız olmayan Schrödinger denklemidir:

Zamandan bağımsız Schrödinger denklemi (göreceli olmayan tek parçacık)

yukarıdaki gibi tanımlanır. Zamandan bağımsız Schrödinger denklemi aşağıda daha ayrıntılı olarak tartışılmıştır.

Türetme

Kuantum mekaniğinin modern anlayışında Schrödinger denklemi aşağıdaki gibi türetilebilir.Dalga fonksiyonu t zamanında verilirse , daha sonra kuantum mekaniğinin doğrusallığıyla, t zamanındaki dalga fonksiyonu , ile verilmelidir Burada bir doğrusal operatördür. Zaman-evrim, dalga fonksiyonunun normunu korumak zorunda olduğu için, dalga fonksiyonlarına etki eden üniter operatör grubunun bir üyesi olmalıdır. Ayrıca biliyoruz ki ,sahip olmamız gerektiğini biliyoruz . Bu nedenle, operatörün genişletilmesi t 'kapalı t şeklinde yazabiliriz H, bir Hermit operatördür. Bu, üniter gruba karşılık gelen Lie cebrinin Hermitian operatörleri içerdiği gerçeğinden kaynaklanır. Limiti zaman farkı olarak almak çok küçük olur, Schrödinger denklemini elde ederiz.

Şimdiye kadar, H sadece soyut bir Hermitian operatördür. Bununla birlikte, yazışma prensibini kullanarak klasik sınırda H'nin beklenti değerinin aslında klasik enerji olduğunu göstermek mümkündür. Karşılıklılık ilkesi, belirsizlik ilkesi nedeniyle kuantum Hamiltoniyen formunu tamamen düzeltmez ve bu nedenle kuantum Hamiltonian'ın kesin şekli deneysel olarak sabitlenmelidir.

Etkileri

Schrödinger denklemi ve çözümleri, fizik düşüncesinde bir atılım başlattı. Schrödinger denklemi türünün ilk örneğiydi ve çözümler zaman için çok sıradışı ve beklenmedik sonuçlara yol açtı.

Toplam, kinetik ve potansiyel enerji

Denklemin genel biçimi, enerjinin korunum prensibini kullandığı için olağandışı veya beklenmedik değildir. Sistematik olmayan Schrödinger denkleminin terimleri, sistem kinetik enerjisine ve sistem potansiyel enerjisine eşit olarak sistemin toplam enerjisi olarak yorumlanabilir. Bu bakımdan klasik fizikte olduğu gibidir.

Niceleme

Schrödinger denklemi, bir sistemin belirli özelliklerinin ölçülmesi durumunda, sonucun nicelleştirilebileceğini, yani sadece belirli ayrık değerlerin ortaya çıkabileceğini öngörmektedir. Bir örnek, enerji nicelleştirmesidir: bir atomdaki bir elektronun enerjisi, atomik spektroskopi yoluyla keşfedilen bir gerçek olan, her zaman kuantize edilmiş enerji seviyelerinden biridir. (Enerji kuantizasyonu aşağıda tartışılmıştır.) Başka bir örnek açısal momentumun nicelleştirilmesidir. Bu, atomun önceki Bohr modelinde bir varsayımdı, fakat Schrödinger denkleminin bir tahminidir.

Schrödinger denkleminin bir başka sonucu, her ölçümün kuantum mekaniğinde nicelleştirilmiş bir sonuç vermemesidir. Örneğin, pozisyon, momentum, zaman ve (bazı durumlarda) enerji sürekli aralıkta herhangi bir değere sahip olabilir.

Ölçme ve belirsizlik

Klasik mekaniğinde, bir parçacık her an kesin bir pozisyona ve tam bir momentuma sahiptir. Parçacık Newton yasalarına göre hareket ettikçe bu değerler deterministik olarak değişir. Kuantum mekaniğinin Kopenhag yorumuna göre, parçacıklar tam olarak belirlenmiş özelliklere sahip değildir ve ölçüldüklerinde, sonuç olasılık dağılımından rasgele çıkarılır. Schrödinger denklemi olasılık dağılımlarının ne olduğunu tahmin eder, ancak her ölçümün kesin sonucunu temel olarak öngöremez.

Heisenberg belirsizlik ilkesi kuantum mekaniğinde içsel ölçüm belirsizliğinin ifadesidir. Daha kesin olarak bir parçacığın pozisyonunun bilindiğini, daha az kesin olarak momentumunun bilindiğini ve bunun tersini belirtir.

Schrödinger denklemi, bir parçacığın dalga fonksiyonunun (deterministik) evrimini tanımlar. Bununla birlikte, dalga fonksiyonu tam olarak bilinse bile, dalga fonksiyonu üzerindeki belirli bir ölçümün sonucu belirsizdir.

Kuantum tünelleme

Kuantum bir bariyer boyunca tünel. Soldan gelen bir parçacık bariyere tırmanmak için yeterli enerjiye sahip değildir. Bununla birlikte, bazen diğer tarafa "tünel" olabilir.

Klasik fizikte, bir top yavaşça geniş bir tepeye doğru yuvarlandığında, durup geriye doğru dönecektir, çünkü tepenin üstünden diğer tarafa geçmek için yeterli enerjiye sahip değildir. Bununla birlikte, Schrödinger denklemi, tepeye ulaşmak için çok az enerji olsa bile, topun tepenin diğer tarafına ulaşmasının küçük bir olasılık olduğunu öngörmektedir. Buna kuantum tünelleme denir. Enerjinin dağılımı ile ilgilidir: Topun varsayılan pozisyonunun tepenin bir tarafında olduğu görülse de, diğer tarafta onu bulma şansı vardır.

Dalga olan parçacıklar

Zaman ilerledikce bir ekranda elektron birikimini gösteren çift yarık deneyi.

Orantısız Schrödinger denklemi, dalga denklemi olarak adlandırılan bir tür kısmi diferansiyel denklemdir. Bu nedenle, genellikle parçacıkların dalgalara atfedilen davranış sergileyebildikleri söylenir. Bazı modern yorumlarda bu tanım tersine çevrilmiştir - kuantum hali, yani dalga, tek gerçek fiziksel gerçekliktir ve uygun koşullar altında parçacık benzeri davranış özelliklerini gösterebilir. Ancak, Ballentine böyle bir yorumlamanın problemleri olduğunu göstermektedir. Ballentine, bir fiziksel dalgayı tek bir parçacıkla ilişkilendirmenin mümkün olduğunu belirtirken, birçok parçacık için hala tek bir Schrödinger dalga denklemi olduğunu belirtmektedir. O işaret eder:

"Eğer bir fiziksel dalga alanı bir parçacıkla ilişkiliyse veya bir dalga paketi ile bir parçacık tanımlanmışsa, o zaman N etkileşen parçacıklara karşılık gelir, sıradan üç boyutlu uzayda N etkileşimli dalgalar olmalıdır. Fakat (4.6) 'a göre Bu durumda, soyut bir 3N-boyutlu konfigürasyon uzayında bir "dalga" fonksiyonu vardır, psi'nin normal uzayda bir fiziksel dalga olarak yanlış yorumlanması mümkündür, çünkü kuantum mekaniğinin en yaygın uygulamaları tek parçacık halleridir. hangi konfigürasyon alanı ve sıradan uzay izomorfiktir.

İki yarık deneyi ışınların kırılarak yayılması , düzenli olarak görüntülenen, sezgisel olarak parçacıklarla ilişkili olmayan garip davranışların ünlü bir örneğidir. İki yarıktan gelen örtüşen dalgalar, bazı yerlerde birbirlerini kesebilirler diger yandan birbirlerini diğer konumlarda güçlendirirler, böylece karmaşık bir görüntü ortaya çıkar. Sezgisel olarak, bu modelin yarıklarda tek bir parçacığı olması beklemezdi, çünkü parçacık her ikisinin de karmaşık bir çakışması değil, bir yarıktan veya diğerinden geçmelidir. Bununla birlikte, Schrödinger denklemi bir dalga denklemi olduğu için, bir çift yarıktan atılan tek bir parçacık aynı modeli gösterir (sağdaki şekil). Not: Karmaşık görüntü ortaya çıkması için deney birçok kez tekrarlanmalıdır. Bu mantıksız olsa da, tahmin doğrudur; Özellikle, elektron kırınımı ve nötron kırınımı iyi anlaşılmış ve bilim ve mühendislikte yaygın olarak kullanılmaktadır. Kırınımla ile ilgili olarak, parçacıklar ayrıca süperpozisyonda ve girişim gösterirler.

Süperpozisyon özelliği partikülün aynı anda iki veya daha fazla kuantum durumunun kuantum süperpozisyonunda olmasına izin verir. Bununla birlikte, kuantum mekaniğindeki bir "kuantum halin", bir sistemin, x pozisyonunda, sistemin gerçekte x pozisyonunda olamayacağı ihtimalini ifade eder. Parçacıkların aynı anda iki klasik durumda olabileceğini ima etmez. Aslında, kuantum mekaniği genellikle ölçümden önce özelliklerin değerlerini atayamaz.

Çoklu Dünyalar yorumu

1952'de Dublin'de Erwin Schrödinger bir konuşma yaptı ve bir noktada seyirciye söylediği şeyin “deli gibi görünebileceği” konusunda uyardı. Denklemleri birkaç farklı tarihi tanımlarken, "alternatif değilller, hepsi aynı anda gerçekleşiyorlardı". Bu, Kuantum mekaniğinin birçok dünya yorumuna bilinen en eski referansıdır.

Dalga fonksiyonunun yorumlanması

Schrödinger denklemi, bir sistemin dalga fonksiyonunu ve zaman içinde dinamik olarak nasıl değiştiğini hesaplamanın bir yolunu sunar. Bununla birlikte, Schrödinger denklemi, tam olarak dalga fonksiyonunun ne olduğunu doğrudan söylemez. Kuantum mekaniğinin yorumlanması, dalga fonksiyonu, altta yatan gerçeklik ve deneysel ölçümlerin sonuçları arasındaki ilişkinin ne olduğu gibi sorulara işaret eder.

Önemli bir husus Schrödinger denklemi ile dalga fonksiyonu çökmesi arasındaki ilişkidir. En eski Kopenhag yorumunda, parçacıklar tamamen farklı davrandıkları dalga fonksiyonu çökmesi dışında Schrödinger denklemini takip ederler. Kuantum çözümleme teorisinin ortaya çıkışı, alternatif yaklaşımlara (örneğin, Everett'in birçok dünya yorumlanması ve tutarlı tarihler gibi) izin verdi, burada Schrödinger denklemi her zaman tatmin edildi ve dalga fonksiyonu çökmesi, Schrödinger denkleminin bir sonucu olarak açıklanmalıdır.

Tarihsel gelişim ve arkaplan

Max Planck'ın ışık kuantizasyonunu (bkz. Siyah cisim radyasyonu) takip eden Albert Einstein, Planck'ın kuantum fotonları, ışık parçacıkları olarak yorumladı ve bir fotonun enerjisinin, frekans-parçacık ikiliğinin ilk işaretlerinden biri olan frekansıyla orantılı olduğunu ileri sürdü. Enerji ve momentum, özel görelilikte frekans ve dalga sayısı ile aynı olduğu için, bir fotonun p momentumunun, λ dalgaboyu ile ters orantılı veya dalga boyu k ile orantılı olduğudur:

burda h, Planck sabitidir ve h indirgenmiş Planck sabiti, h/2π. Louis de Broglie bunun tüm parçacıklar, hatta elektron gibi kütleye sahip parçacıklar için de geçerli olduğunu varsaydı. Maddenin, parçacıkları parçacıklarıyla birlikte yayıldığını varsayarsak, elektronların ayakta kalan dalgalar oluşturduğunu ve bir atomun çekirdeği ile ilgili sadece belirli ayrı dönme frekanslarına izin verildiğini gösterdi. Bu niceleme yörüngeler, ayrı enerji seviyelerine karşılık gelir ve de Broglie, enerji seviyeleri için Bohr model formülünü yeniden üretti. Bohr modeli, aşağıdakilere göre açısal momentum L'nin varsayılan kuantizasyonuna dayanmaktadır:

De Broglie'ye göre, elektron bir dalga ile tanımlanır ve bir dizi dalga boyu elektronun yörüngesinin çevresi boyunca uymalıdır.

Bu yaklaşım esas olarak elektron dalgasını bir boyutta, yarıçapın r dairesel yörüngesi boyunca sınırlamıştır.

1921'de, Broglie'den önce, Chicago Üniversitesi'ndeki Arthur C. Lunn, şimdiki de Broglie ilişkisini aradığımız şeyi elde etmek için relativistik enerji-momentum 4-vektörünün tamamlanmasına dayanan aynı argümanı kullanmıştı. De Broglie'nin aksine Lunn, şimdi Schrödinger denklemi olarak bilinen diferansiyel denklemi formüle etmeye ve hidrojen atomu için enerji özdeğerleri için çözmeye devam etti. Maalesef bu makale Kamen tarafından anlatıldığı gibi Fiziksel İnceleme tarafından reddedildi.

Broglie'nin fikirlerini takip eden fizikçi Peter Debye, parçacıkların dalga gibi davrandığında, bir çeşit dalga denklemini tatmin etmeleri gerektiği yönünde bir yorum yaptı. Debye'nin sözlerinden ilham alan Schrödinger, elektron için uygun bir 3 boyutlu dalga denklemi bulmaya karar verdi. William R. Hamilton'ın, optiklerin sıfır dalgaboyu sınırının mekanik bir sisteme benzediğine dair gözlemde kodlanmış mekanik ve optik arasındaki analoji tarafından yönlendirildi; ışık ışınlarının izleri Fermat'ın prensibine uygun bir şekilde keskin hatlar haline geldi. En az işlem Onun akıl yürütmesinin modern bir versiyonu aşağıda yeniden üretilmektedir. Bulduğu denklem:

Ancak, o zamanda, Arnold Sommerfeld, Bohr modelini göreceli düzeltmelerle rafine etti. Schrödinger, Coulomb potansiyelinde (doğal birimlerde) Klein-Gordon denklemi olarak bilinen şeyi bulmak için göreceli enerji momentum ilişkisini kullanmıştır:

Bu göreceli denklemi ile durgun dalgalarını buldu, ancak göreceli düzeltmeler Sommerfeld'in formülü ile aynı fikirde değildi.

Schrödinger, kabinde iken, daha önceki düzensizlikçi hesaplarının yayınlamak için yeterince roman olduğuna karar verdi ve gelecek için göreceli düzeltmeler sorununu bırakmaya karar verdi. Hidrojen için diferansiyel denklemi çözmedeki zorluklara rağmen (onun arkadaşı matematikçi Hermann Weyl'den yardım istemiştir) Schrödinger, dalga denkleminin sözde olmayan versiyonunun 1926'da yayınlanan bir makalede hidrojenin doğru spektral enerjilerini ürettiğini gösterdi. Schrödinger, bir hidrojen atomunun elektronunu, bir proton tarafından yaratılan bir potansiyel kuyu V, içinde hareket eden bir dalga Ψ(x, t) olarak ele alarak hidrojen spektral serisini hesaplamıştır. Bu hesaplama, Bohr modelinin enerji seviyelerini doğru bir şekilde yeniden üretmiştir. Bir makalede Schrödinger bu denklemi şöyle açıkladı:

Schrödinger denklemi behavior'nin Ψ davranışını detaylandırır, ancak doğası hakkında hiçbir şey söylemez. Schrödinger dördüncü yazısında bir yük yoğunluğu olarak yorumlamaya çalıştı ancak başarısız oldu. 1926'da, Schrödinger'in dördüncü ve son makalesi yayınlandıktan sadece birkaç gün sonra, Max Born, mutlak karesi Ψ olasılık yoğunluğuna eşit olan olasılık genliği olarak başarılı bir şekilde yorumladı. Schrödinger, her ne kadar, kuantum mekaniğinin altta yatan deterministik bir teoriye istatistiksel bir yaklaşım olduğuna inanan ve Kopenhag yorumuyla hiçbir zaman uzlaşamayan Einstein gibi, onun süreksizliğiyle, istatistiksel ya da olasılıksal bir yaklaşıma her zaman karşı çıktı.

Louis de Broglie, daha sonraki yıllarda karmaşık dalga fonksiyonuna bir orantı sabiti ile bağlı ve De Broglie-Bohm teorisini geliştiren gerçek değerli bir dalga fonksiyonu önermiştir.

Parçacıklar için dalga denklemi

Schrödinger denklemi bir difüzyon denklemidir, çözümler dalga benzeri hareketleri tanımlayan işlevlerdir. Fizikteki dalga denklemleri normalde diğer fiziksel yasalardan türetilebilir - tellerde ve madde içindeki mekanik titreşimler için dalga denklemi, dalga fonksiyonunun maddenin yer değiştirmesini temsil ettiği Newton yasalarından türetilebilir ve Dalga fonksiyonlarının elektrik ve manyetik alan olduğu Maxwell denklemlerinden elektromanyetik dalgalarıdır. Diğer yandan Schrödinger denkleminin temeli, sistemin enerjisi ve kuantum mekaniğinin ayrı bir postülasıdır: dalga fonksiyonu sistemin bir açıklamasıdır.

Denklemin temeli, klasik enerji korunmasına dayalı ve De Broglie ilişkileri ile tutarlı bir doğrusal diferansiyel denklem olarak yapılandırılmıştır. Çözüm, sistem hakkında bilinen tüm bilgileri içeren dalga ψ, işlevidir. Kopenhag yorumunda, mod modülü,ψ, parçacıkların belirli bir zamanda bir miktar uzamsal konfigürasyonda olma olasılığı ile ilgilidir. ψ, denklemini çözmek, parçacıkların belirtilen potansiyelin etkisi altında ve birbirleriyle nasıl davrandığını tahmin etmek için kullanılabilir.

Schrödinger denklemi, temel olarak De Broglie hipotezinden, parçacıkları tanımlayan bir dalga denkleminden geliştirildi ve aşağıdaki bölümlerde gayri resmi olarak gösterildiği gibi kurgulanabilir. Schrödinger denkleminin daha titiz bir açıklaması için ayrıca bkz. Resnick et al.

Enerjinin korunması ile tutarlılık

Bir parçacığın toplam enerjisi E, kinetik enerjinin T ve potansiyel enerjinin V toplamıdır. Bu toplam, aynı zamanda, klasik mekaniğin Hamiltoniyen H için de sık görülen ifadesidir:

Açıkça,x, kütle m ve momentum p ile bir boyuttaki bir parçacık için ve genellikle pozisyon ve zamana t göre değişen potansiyel enerji V segiler :

Üç boyut için, pozisyon vektörü r ve momentum vektörü p kullanılmalıdır:

Bu biçimcilik, herhangi bir sabit sayıda taneciğe uzatılabilir: Sistemin toplam enerjisi o zaman parçacıkların toplam kinetik enerjileri, yine toplam potansiyel enerji, ve yine Hamiltoniyen'dir. Bununla birlikte, parçacıklar (N-cisim problemi) arasında etkileşimler olabilir, bu yüzden potansiyel enerji (V) parçacıkların uzaysal konfigürasyonu değiştikçe ve muhtemelen zamanla değişebilir. Potansiyel enerji, genel olarak, her bir parçacık için ayrı potansiyel enerjilerin toplamı değildir, parçacıkların tüm mekansal konumlarının bir fonksiyonudur.

Doğrusallık

En basit dalga fonksiyonu, formun bir düzlem dalgasıdır:

A'nın, dalgasının genliği, k dalgası ve ω açısal frekansı olduğu yerdir. Genel olarak, fiziksel durumlar, düzlem dalgaları ile tam olarak tarif edilmez, bu yüzden genellik için süperpozisyon prensibi gereklidir; herhangi bir dalga sinüzoidal düzlem dalgalarının süperpozisyonu ile yapılabilir.

Ayrık k için toplam, düzlem dalgalarının üst üste gelmesidir:

Bazı gerçek genlik katsayıları için An, ve sürekli k için toplam bir integral olur, bir momentum uzay dalga fonksiyonunun Fourier dönüşümüdür.[4]

Burada d3k = dkxdkydkz, k-alanı diferansiyel hacim elemanıdır ve integraller tüm k-alanı alınır. momentum dalga fonksiyonu Φ(k), pozisyon ve momentum uzay dalga fonksiyonlarının birbirinin Fourier dönüşümleri olduğu için integralde ortaya çıkar.

De Broglie ilişkileri ile tutarlılık

De broglie'nin hipotezinde ve Schrödinger denkleminin geliştirilmesinde kullanılan dalga fonksiyonuna ilişkin nicellerin şematik özeti.[5]

Einstein'ın ışık kuantum hipotezi (1905), bir fotonun enerjisinin (E), ışığın mukabil kuantum dalga grubu frekansı ν (veya açısal frekans, ω = 2πν) ile orantılı olduğunu belirtir:

Benzer şekilde, De Broglie'nin hipotezi (1924), herhangi bir parçacığın bir dalga ile ilişkilendirilebileceğini ve parçacığın momentumunun, p böyle bir dalganın (veya dalga boyuna λ orantılı, k = /λ) dalga boyu ile ters orantılı olduğunu belirtmektedir.

üç boyutta iken, dalga boyu λ dalga kuvveti k'nin büyüklüğü ile ilgilidir:

Planck – Einstein ve de Broglie ilişkileri zamanla enerji arasındaki derin bağlantıları, momentum ile uzayı ve hızlı dalga-parçacık ikiliğini aydınlatır. Uygulamada, De Broglie denklemleri kimliklere indirgeyken, ħ = 1 olan doğal birimler kullanılır: miktarların tekrarlanmasını önlemek ve momentlerin çoğalmasını önlemek için momentum, dalga boyu, enerji ve frekansın birbirinin yerine geçmesine izin vermek ve ilgili miktarların boyutlarını azaltmaktır. Bu makalede aşinalık SI birimleri kullanılmaya devam etmektedir.

Schrödinger'in 1925'in sonlarına doğru görüşü, bu ilişkileri kullanarak karmaşık bir faz faktörü olarak bir düzlem dalgasının fazını ifade etmekti:

ve birinci mertebeden kısmi türevlerin olduğunu kavramak:

uzay bağlı olarak:

zamana bağlı olarak:

Kuantum mekaniğinin başka bir postülası, tüm gözlenebilirlerin, dalga fonksiyonu üzerinde çalışan lineer Hermitus operatörleri tarafından temsil edilmesi ve operatörün öz değerlerinin, gözlemlenebilir değerlerin alınmasıdır. Önceki türevler, zaman türevine karşılık gelen enerji operatörü ile tutarlıdır.

E'nin enerji özdeğerleri olduğu ve momentum operatörünün mekansal türevlere (gradyan ) karşılık geldiği,

p, momentum özdeğerlerinin bir vektörüdür. Yukarıda, "şapkalar" (ˆ), bu gözlenebilirlerin sadece sıradan sayılar veya vektörler değil operatörler olduğunu gösterir. Enerji ve momentum operatörleri diferansiyel operatörlerdir, potansiyel enerji fonksiyonu V ise sadece çarpımsal bir faktördür.

Enerji ve momentum operatörlerini klasik enerji koruma denklemine dönüştürmek, operatörü alır:

böylece zaman ve mekana göre türevler açısından, bu işleç dalga fonksiyonu üzerinde hareket ederek Ψ derhal Schrödinger'i denklemine yönlendirdi.

Dalga-parçacık ikiliği aşağıdaki gibi bu denklemlerden değerlendirilebilir. Kinetik enerji T momentumun karesi ile ilgilidir. Parçacık momentumu arttıkça kinetik enerji daha hızlı artar, fakat dalga boyu beri |k| dalga boyunu arttırır λ azalır. Sıradan skaler ve vektör miktarları açısından (operatörler değil):

Kinetik enerji aynı zamanda ikinci uzamsal türevlerle de orantılıdır, bu yüzden de dalgaların eğriliğinin büyüklüğü ile operatörler açısından orantılıdır:


Eğrilik arttıkça, dalganın genliği pozitif ve negatif arasında daha hızlı değişir ve dalga boyunu da kısaltır. Dolayısıyla, momentum ile dalga boyu arasındaki ters ilişki, parçacığın sahip olduğu enerji ile tutarlıdır, ve böylece parçacığın enerjisi, aynı matematiksel formülasyonda bir dalgaya bağlıdır.

Dalga ve parçacık hareketi

dalga paket lokalizasyonunun artan seviyeleri, partikülün daha lokalize bir konuma sahip olduğu anlamına gelir.
ħ → 0, limitinde, parçacığın konumu ve momentumu tam olarak bilinir. Bu klasik parçacıkla eşdeğerdir.

Schrödinger, k yakınındaki fronvektör ile r konumuna yakın bir dalga grubu çözümünün, klasik mekaniğin belirlediği yörünge boyunca k (ve dolayısıyla hızda) yayılma için yeterli olan sürenin, r'deki yayılımı büyük ölçüde arttırmayacak şekilde hareket etmesini gerektirmiştir. k cinsinden belirli bir yayılma için, yayılma hızı Planck sabiti h proport ile orantılı olduğundan, kimi zaman h sıfıra yaklaştıkça, klasik mekaniğin denklemlerinin kuantum mekaniğinden geri döndüğü söylenebilir. Bu limitin nasıl alındığı ve hangi durumlarda olduğu konusunda büyük özen gösterilmelidir.

Sınırlayıcı kısa dalgaboyu, sıfıra yaklaşmaya h eşdeğerdir, çünkü bu, dalga grubu lokalizasyonunun partikülün kesin konumuna yükseltilmesini sınırlandırmaktadır (bkz. Sağdaki resimler). Pozisyon ve momentum için Heisenberg belirsizlik ilkesini kullanarak, pozisyon ve momentumdaki belirsizlik ürünleri sıfır olur ħ → 0:

Burada σ, x ve px'de (ve aynı şekilde y ve z yönleri için) (bu durumun anlamını ve momentumunu ifade eder), bu sınırda sadece keyfi hassasiyetle bilinebilir (ortalama kare kökü) ölçüm belirsizliğini gösterir.

Klasik ve kuantum mekaniğini karşılaştırmanın basit bir yolu, beklenen konumun ve beklenen momentumun zaman-evrimini ele almaktır; bu, klasik mekaniğin sıradan konumunun ve momentumunun zaman-evrimi ile karşılaştırılabilir. Kuantum beklenti değerleri Ehrenfest teoremini karşılar. Ehrenfest teoremi, potansiyel bir içinde hareket eden tek boyutlu bir kuantum parçacığı içindir.

Bu denklemlerin ilki klasik davranışla tutarlı olsa da, ikincisi şu değildir: Eğer çift Newton'un ikinci yasasını tatmin edecek şekilde, ikinci denklemin sağ tarafı olmalıydı.

,

Bu tipik olarak ile aynı değildir. Bununla birlikte, kuantum harmonik osilatör durumunda, , lineerdir ve bu ayrım ortadan kalkar, böylece bu çok özel durumda beklenen konum ve beklenen momentum tam olarak klasik yörüngeleri takip eder.

Genel sistemler için umduğumuz en iyi şey, beklenen konum ve momentumun klasik yörüngeleri yaklaşık olarak takip etmesidir. Eğer dalga fonksiyonu bir , noktasında yoğunlaşırsa, o zaman hemen hemen aynı olacaktır, çünkü her ikisi de yaklaşık olarak eşit olacaktır . Bu durumda, beklenen konum ve beklenen momentum, en azından dalga fonksiyonu pozisyonda oldukça lokalize olduğu sürece, klasik yörüngelere çok yakın kalacaktır. Planck sabiti küçük olduğunda, hem pozisyonda hem de momentumda iyi yerleşmiş bir duruma sahip olmak mümkündür. Momentumdaki küçük belirsizlik, partikülün uzun süre lokalize konumda kalmasını sağlar, böylece beklenen pozisyon ve momentum klasik yörüngeleri yakından takip etmeye devam eder.

Schrödinger denklemi genel formunda

Hamilton-Jacobi denklemi (HJE) ile yakından ilişkilidir.

S eylemi ve H, Hamiltoniyen işlevi (operatör değil) ifade eder. Burada qi için i = 1, 2, 3 genelleştirilmiş koordinatlar qi (HJE bağlamında kullanılır), Kartezyen koordinatlarındaki pozisyona ayarlanabilir r = (q1, q2, q3) = (x, y, z)..

yerini alır

Burada ρ olasılık yoğunluğu, Schrödinger denklemine girilir ve sonuçta elde edilen denklemde ħ → 0 limiti alınır, Hamilton – Jacobi denklemini verir.

Etkileri aşağıdaki gibidir:

  • Schrödinger denklemine bir (kısa dalga boyu) dalga grubu çözümü ile tanımlanan bir parçacığın hareketi de Hamilton-Jacobi hareket denklemi tarafından açıklanmaktadır.
  • Schrödinger denklemi, dalga fonksiyonunu içerir, bu yüzden dalga grubu çözümü, bir (kuantum) parçacığın pozisyonunu dalga cephelerinde fuzuli yayılır. Tam tersine, Hamilton-Jacobi denklemi belirli bir konum ve momentumun (klasik) bir parçacığına uygulanır, bunun yerine her zaman (yörünge) konum ve momentum belirleyici olur ve eşzamanlı olarak bilinebilir.

izafi olmayan kuantum mekaniği

Özel göreliliğin etkilerini hesaba katmadan parçacıkların kuantum mekaniğinde, örneğin ışıktan çok daha az hızlarda yayılan parçacıklar, düzensiz kuantum mekaniği olarak bilinir. Aşağıda, bu bağlamda farklı durumlar için Schrödinger denkleminin çeşitli biçimleri verilmiştir: zaman bağımsızlığı ve bağımlılığı, bir ve üç mekansal boyut ve bir ve N parçacık.

Gerçekte, sistemi oluşturan parçacıklar, teoride kullanılan sayısal etiketlere sahip değildir. Matematiğin dili bizi parçacıkların konumlarını bir şekilde etiketlememizi zorlaştırır, aksi halde hangi değişkenlerin hangi parçacık için olduğunu gösteren semboller arasında karışıklık olur.

Zamandan bağımsız

Hamiltoniyen açık bir zaman fonksiyonu değilse, denklem mekansal ve zamansal parçaların bir ürünü olarak ayrılabilir. Genel olarak, dalga fonksiyonu şu şekildedir:

burada ψ(uzay koordinatları) sadece sistemi oluşturan parçacığın (parçacıkların) tüm uzamsal koordinatlarının / fonksiyonlarının bir fonksiyonu ve τ(t) sadece zamanın bir fonksiyonudur.

Schrödinger denklemine ψ için yer değiştirme, ilgili sayıdaki ilgili parçacık sayısı için ilgili değişkenlerin ayrılmasıyla, zamana bağlı denklemin genel çözümünü içeren formdur

Zamana bağlı faz faktörü her zaman aynı olduğundan, zaman içinde bağımsız problemler için sadece mekânsal kısmın çözülmesi gerekir. Ayrıca, enerji operatörü Ê = /t her zaman enerji özdeğeri E, ile değiştirilebilir, böylece bağımsız Schrödinger denklemi Hamilton operatörü için bir özdeğerli denklemdir.

Bu, herhangi bir sayıda boyutta (zaman bağımsız bir potansiyelde) herhangi bir sayıda parçacık için geçerlidir. Bu durum, belirli enerjiye sahip olan (farklı enerjilerin olasılık dağılımı yerine) zamana bağlı denklemin durağan dalga çözümlerini açıklar. Fizikte, bu durağan dalgalara "durağan hal" veya "enerji ejanserleri" denir; kimyada "atomik orbitaller" veya "moleküler orbitaller" olarak adlandırılır. Enerji ejensitlerinin süperpozisyonları, özelliklerini enerji seviyeleri arasındaki nispi fazlara göre değiştirir.

Bu denklemin enerji özdeğerleri, ayrı bir değerler spektrumu oluşturur, bu yüzden matematiksel enerjinin nicelleştirilmesi gerekir. Daha spesifik olarak, enerji ejenserleri bir temel oluşturur - herhangi bir dalga fonksiyonu, ayrı enerji durumları veya sürekli enerji durumları üzerinde bir integral olarak veya daha genel olarak bir ölçümün bir integrali olarak yazılabilir. Bu, matematikteki spektral teoremdir ve sonlu bir durum alanı içinde, bir Hermitus matrisinin özvektörlerinin bütünlüğünün bir ifadesidir.

Tek boyutlu örnekler

Bir boyutta bir parçacık için Hamiltonian:

ve bunu genel Schrödinger denklemine dönüştürmek şunları verir:

Bu, Schrödinger denkleminin kısmi diferansiyel denklemden ziyade, olağan bir diferansiyel denklem olduğu tek durumdur. Genel çözümler her zaman aşağıdaki gibidir:

Bir boyutta N parçacıkları için, Hamiltoniyen:

Parçacık n konumu xn'dir. Karşılık gelen Schrödinger denklemi:

Bu yüzden genel çözümler şu şekildedir:

Etkileşimsiz parçacıklar için, sistemin potansiyeli her bir parçacığı ayrı ayrı etkiler, böylece toplam potansiyel enerji, her bir parçacık için potansiyel enerjilerin toplamıdır:

ve dalga fonksiyonu, her parçacık için dalga fonksiyonlarının bir ürünü olarak yazılabilir:

Etkileşimsiz özdeş parçacıklar için, potansiyel hala bir toplamdır, ancak dalga fonksiyonu biraz daha karmaşıktır - partikül değişimini hesaba katan ayrı dalga fonksiyonlarının ürünlerinin permütasyonları üzerindeki bir toplamdır. Genel olarak etkileşim halindeki parçacıklar için, yukarıdaki ayrışmalar mümkün değildir.

Serbest parçacık

Potansiyel olmadığı için, V = 0, yani parçacık serbest ve denklem okur:[6]:151ff

E > 0 için salınımlı çözümlere sahip olan (Cn keyfi sabitler):

ve E < 0 için üstel çözümler

Üstel büyüyen çözümlerin sonsuz bir normu vardır ve fiziksel değildir. Periyodik veya sabit sınır koşullarına sahip sonlu bir hacimde izin verilmez.

Serbest parçacık hakkında daha fazla tartışma için Serbest parçacık ve Dalga paketi'ne bakın.

Sabit potansiyel

Bir bariyer üzerinde de Broglie dalga olayı Animasyon.

Sabit bir potansiyel için, V = V0, çözüm E > V0 için osilatördür ve klasik mekaniğe izin verilen veya izin verilmeyen enerjilere karşılık gelen E < V0, için üsseldir. Titreşimsel çözümler, klasik olarak izin verilen bir enerjiye sahiptir ve gerçek klasik hareketlere karşılık gelirken, üstel çözümler, izin verilmeyen bir enerjiye sahiptir ve kuantum tünelleme nedeniyle klasik olarak izin verilmeyen bölgeye az miktarda kuantum tasvir etmektedir. Potansiyel V0 sonsuza kadar büyürse, hareket klasik olarak sonlu bir bölgeyle sınırlıdır. Yeterince uzağa bakıldığında, her çözümün üsteline indirgenmesi; Üstelin azalan koşul, enerji seviyelerini izin verilen enerjiler olarak adlandırılan ayrı bir kümeye sınırlar.

Harmonik osilatör

Klasik mekaniğin (A-B) ve kuantum mekaniğinde harmonik bir osilatör (C-H). (A – B) 'de, bir yay bağlı bir top ileri geri salınır. (C-H) bu durum için Schrödinger Denklemine altı çözümdür. Yatay eksen konumdur, dikey eksen dalga fonksiyonunun gerçek kısmı (mavi) veya hayali kısmıdır (kırmızı). Zamandan bağımsız Schrödinger denklemine çözümler olan durağan haller veya enerji ejenstatları, C, D, E, F'de değil G veya H'de gösterilir.

Schrödinger denklemi bu durum için

Çözülmesi gereken önemli bir kuantum sistemidir; çözümler kesin (ancak Hermite polinomları açısından) karmaşık olduğundan ve kafeslerde titreşen atomlar, moleküller ve atomlar veya iyonlar dahil olmak üzere çok çeşitli diğer sistemleri tanımlayabilir veya en azından yaklaşık dengeye yakın diğer potansiyellere yakın olabilir. Ayrıca kuantum mekaniğindeki pertürbasyon yöntemlerinin temelidir.

Bir çözüm kümesi var - konum olarak

burada n = 0,1,2,..., ... ve Hn işlevleri Hermite polinomlarıdır.

Üç boyutlu örnekler

Bir boyuttan üç boyuta genişletme kolaydır, tüm pozisyon ve momentum operatörleri üç boyutlu ifadelerle değiştirilir ve uzaya göre kısmi türev gradyan operatörü ile değiştirilir.

Üç boyutlu bir parçacık için Hamiltonyen:

denklemi üretmek:

formun durağan hal çözümleriyle :

Burda Parçacık pozisyonunun r olduğu varsayılır. Schrödinger denklemini çözmek için iki kullanışlı koordinat sistemi Kartezyen koordinatlardır, böylece r = (x, y, z) ve küresel kutupsal koordinatlar r = (r, θ, φ) olur, ancak diğer ortogonal koordinatlar denklemi belli geometrik simetrilere sahip sistemleri çözmek için yararlıdır.

Üç boyutlu N parçacıklar için Hamiltoniyendir:

partikül n'in pozisyonu rn ve gradyan operatörleri partikülün pozisyon koordinatlarına göre kısmi türevlerdir. Kartezyen koordinatlarda, n partikülü için, pozisyon vektörü rn = (xn, yn, zn) iken gradyan ve Laplacian operatörü sırasıyla:

Schrödinger denklemi ile:

sabit durum çözümleriyle ile:

Yine, etkileşime girmeyen ayırt edilebilir parçacıklar için potansiyel, parçacık potansiyellerinin toplamıdır.

ve dalga fonksiyonu, parçacık dalga fonksiyonlarının bir ürünüdür.

Etkileşimsiz özdeş parçacıklar için, potansiyel bir toplamdır, ancak dalga fonksiyonu ürünlerin permütasyonları üzerindeki bir toplamdır. Önceki iki denklem etkileşimli parçacıklara uygulanmaz. Kesin çözümlerin bilindiği örnekler aşağıdadır. Daha fazla bilgi için ana makalelere bakın.

Hidrojen atomu

Schrödinger denkleminin bu formu hidrojen atomuna uygulanabilir:

burada e elektron yüküdür, r, elektronun çekirdeğe göre konumudur (r = Şablon:Abs göreceli konumun büyüklüğüdür), potansiyel terim Coulomb etkileşimi nedeniyledir, burada ε0 elektrik sabitidir ( boş alanın geçirgenliği) ve

mp hidrojen çekirdeğinin (sadece bir proton) ve 2p kütlesinin indirgenmiş kütlesi ve me kütle elektronudur. Negatif işaret, proton ve elektronun karşıt olarak yüklenmesinden dolayı potansiyel terimde ortaya çıkar. Elektron kütlesi yerine indirgenmiş kütle, elektron ve protonun bir arada ortak bir kütle merkezi etrafında yan yana geldiği ve çözülmesi gereken iki cisimli bir problem teşkil ettiği için kullanılır. Elektronun hareketi burada ana prensiptir, yani eşdeğer tek vücut problemi, elektronun indirgenmiş kütle kullanılarak hareketidir.

Hidrojen için dalga fonksiyonu, elektronun koordinatlarının bir fonksiyonudur ve aslında her bir koordinatın fonksiyonlarına ayrılabilir. Genellikle bu küresel kutupsal koordinatlarda yapılır:

burada R radyal fonksiyonlardır ve Ym
(θ, φ)
derece ve m düzeninin küresel harmonikleridir. Schrödinger denkleminin tam olarak çözdüğü tek atom bu. Çok elektronlu atomlar yaklaşık yöntemler gerektirir. Çözüm kümesi:

burada:

  • Bohr yarıçapı
  • n − 1 derece genelleştirilmiş Laguerre polinomlarıdır.
  • n, , m sırasıyla temel, azimut ve manyetik kuantum sayılarıdır:

Not: Genelleştirilmiş Laguerre polinomları farklı yazarlar tarafından farklı tanımlanmıştır - bunlarla ilgili ana makaleye ve hidrojen atomuna bakınız.

İki elektronlu atom veya iyonlar

Çözüm yöntemleri

Kaynak

  1. "Kuantum Dalga Fonksiyonu (Fen Bilimleri)(Fizik)". khanacademy. 13 June 2018 Alınmıştır. 
  2. Erwin Schrödinger, "The Present situation in Quantum Mechanics," p. 9 of 22. The English version was translated by John D. Trimmer. The translation first appeared first in Proceedings of the American Philosophical Society, 124, 323–38. It later appeared as Section I.11 of Part I of Quantum Theory and Measurement by J.A. Wheeler and W.H. Zurek, eds., Princeton University Press, New Jersey 1983.
  3. The New Quantum Universe, T.Hey, P.Walters, Cambridge University Press, 2009, ISBN 978-0-521-56457-1
  4. Quantum Mechanics Demystified, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN 0-07-145546-9
  5. 5,0 5,1 Quanta: Bir el kitabı Kavramları, P.W. Atkins, Oxford University Press, 1974, ISBN 0-19-855493-1
  6. 6,0 6,1 {{{başlık}}}. ISBN 978-0-306-44790-7.